Strutture algebriche

Prima di poter definire la prima struttura algebrica bisogna sapere cos’è un’operazione interna. Essa è un’operazione che avviene in un solo insieme e si indica nella seguente maniera:

$$\ast :A\times A\to A$$

Prendendo gli elementi invece si indicherebbe con

$$\ast (x,y)=x\ast y$$

Gruppoide

Ora che sappiamo cosa sia un’operazione interna possiamo dire che:

Definizione di gruppoide

Si definisce gruppoide un’insieme $A$ che ha come operazione $\ast$.

Esempi di operazioni interne

L’operazione somma $+$ è un’operazione interna in $\mathbb{N}$ perché tutti i valori in output rientreranno dentro l’insieme $\mathbb{N}$.

$$\begin{array}{rl}+:& \mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}\\ & (x,y)\mapsto x+y\end{array}$$

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La divisione non è un’operazione interna dell’insieme ${\mathbb{N}}^{+}$ perché restituirà valori esterni all’insieme delle immagini.

$$\begin{array}{rl}/:& {\mathbb{N}}^{+}\times {\mathbb{N}}^{+}\to {\mathbb{N}}^{+}\\ & (x,y)\mapsto x/y\end{array}$$

Se volessimo rendere questa formula giusta, dovremmo cambiare il codominio ${\mathbb{N}}^{+}$ in $\mathbb{Q}$, ma facendo ciò ci allontaniamo dalla definizione di operazione interna.

Un’operazione interna può avere due proprietà:

• Può essere associativa se $\forall a,b,c\in A⟹(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$. Se un gruppoide è associativo allora viene chiamato semigruppo.
• Può essere commutativa se $\forall a,b\in A⟹a\ast b=b\ast a$

Se prendiamo un gruppoide $(A,\ast )$ e un elemento $e\in A$, quest’ultimo viene definito elemento neutro se verifica la seguente proprietà:

$$\forall a\in A⟹a\ast e=e\ast a=a$$

In un gruppoide se l’elemento neutro di $a$ esiste, allora esso è unico.

Dimostrazione

Prendiamo due elementi neutri $e_1,e_2\in A$ e applichiamo la proprietà di elemento neutro a entrambi:

$$\begin{array}{r}\forall a\in A⟹a\ast e_1=e_1\ast a=a\\ \forall a\in A⟹a\ast e_2=e_2\ast a=a\end{array}$$

Visto che la prima proposizione ci dice che se applico qualcosa a un valore quel valore non cambia e la seconda proposizione è analoga, possiamo scrivere che

$$e_1\ast e_2=e_1$$

Però, visto che anche la seconda proposizione ci dice la stessa cosa, possiamo scrivere che

$$e_1\ast e_2=e_2$$

Quindi ne consegue che $e_1$ e $e_2$ siano uguali. Quindi esiste solamente un’elemento neutro.

Quando un gruppoide è associativo e possiede l’elemento neutro allora esso viene chiamato monoide.

Mentre viene definito l’inverso di $a$, cioè $a^{\prime }$, quell’elemento che verifica questa proprietà:

$$\forall a\in A,\exists a^{\prime }\in A:a\ast a^{\prime }=a^{\prime }\ast a=e$$

Nel caso in cui esista l’inverso di a, diremo che $a$ è invertibile.

Semigruppo

Definizione

Viene definito semigruppo quel gruppoide dove vale la proprietà associativa.

Monoide

Definizione

Viene chiamato monoide quel semigruppo che possiede l’elemento neutro.

Se in un monoide $(A,\ast )$, $a\in A$ è invertibile, il suo inverso, è unico.

Dimostrazione

Prendiamo due inversi di $a\in A$, $a_1^{\prime },a_2^{\prime }\in A$. Se prendiamo la definizione di unicità di elemento neutro e lo applichiamo ad entrambi otterremo

$$\begin{array}{rl}e& =a\ast a_2^{\prime }=a_1^{\prime }\ast a\\ & \\ a_1^{\prime }& =a_1^{\prime }\ast e=\\ & =a_1^{\prime }\ast (a\ast a_2^{\prime })=\\ & =(a_1^{\prime }\ast a)\ast a_2^{\prime }=\leftarrow \text{Proprietaˋ associativa}\\ & =e\ast a_2^{\prime }=\\ a_1^{\prime }& =a_2^{\prime }\end{array}$$

Visto che $a_1^{\prime }=a_2^{\prime }$ ne concludiamo che l’inverso di $a$ è unico.

Tavola dell’operazione

Se un gruppoide $(A,\ast )$ è finito allora ne possiamo ricavare una tavola dell’operazione. Questa tavola prende i valori in input e ne restituisce, sottoforma di tabella, gli output. Prendiamo $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\in A$ e mettiamo ogni $x$ sulla prima riga e sulla prima colonna e poi eseguiamo le operazioni.

$\ast$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$x_1$	$x_1\ast x_1$	$x_1\ast x_2$	$\dots$	$x_1\ast x_n$
$x_2$	$x_2\ast x_1$	$x_2\ast x_2$	$\dots$	$x_2\ast x_n$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$x_n$	$x_n\ast x_1$	$x_n\ast x_2$	$\dots$	$x_n\ast x_n$

Example

Avendo l’insieme $A=\{a\}$, prendiamone l’insieme delle parti $P(A)=\{\varnothing ,A\}$ e creiamo le tavole per l’intersezione e l’unione. Per l’intersezione avremmo $(P(A),\cap )$

$\cap$	$\varnothing$	$A$
$\varnothing$	$\varnothing$	$\varnothing$
$A$	$\varnothing$	$A$

Mentre per l’unione avremmo $(P(A),\cup )$

$\cup$	$\varnothing$	$A$
$\varnothing$	$\varnothing$	$A$
$A$	$A$	$A$

Gruppo

Viene definito gruppo, con notazione $(G,\ast )$, se e solo se le seguenti proposizioni sono vere:

• L’operazione interna $\ast$ è associativa.
• Esiste l’elemento neutro.

Gruppo commutativo (o abeliano)

Un gruppo viene chiamato commutativo, o abeliano, se l’operazione interna è anche commutativa.

Alcune notazioni

Se abbiamo un gruppo con operazione interna la somma $(G,+)$ allora si indicherà con lo $0$ l’elemento neutro, mentre si indicherà con $-a$ l’inverso, o opposto, di $a$. Si indicherà con $na=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ mentre si indicherà con $(-n)a=(-a_1)+(-a_2)+(-a_3)+\dots (-a_n)$.

Se abbiamo invece un gruppo con operazione interna la moltiplicazione $(G,\cdot )$ allora si indicherà con $1$ l’elemento neutro, mentre con $a^{-1}$ l’inverso di $a$. Inoltre si indicherà con $a^n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \dots \cdot a_n$ e si indicherà con $a^{-n}=a_1^{-1}\cdot a_2^{-1}\cdot a_3^{-1}\cdot \dots a_n^{-1}$

Gruppo ciclico

Un gruppo $(G,\ast )$ è detto ciclico se esiste un elemento $g\in G$ tale che valgono le seguenti proposizioni:

$$\exists g\in G:\forall a\in G⟹\{\begin{array}{l}g\ast g\ast g\ast \dots \ast g\\ a=e\\ g^{-1}\ast g^{-1}\ast g^{-1}\ast \dots g^{-1}\end{array}$$

Visto che con l’elemento $g$ si può creare ogni elemento $a$, viene chiamato generatore.

Esempio di gruppo ciclico infinito

Prendiamo il gruppo abeliano $(\mathbb{Z},+)$ e verifichiamo se esista un’elemento generatore. Imponiamo $g=1$ e notiamo che

$$a=\{\begin{array}{l}1+1+1+\dots +1\\ 0\\ (-1)+(-1)+(-1)+\dots +(-1)\end{array}$$

Quindi $1$ è l’elemento generatore per il gruppo $(\mathbb{Z},+)$.

Esempio di gruppo ciclico finito

Prendiamo l’insieme ${\mathbb{Z}}_{12}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]\}$ e definiamo $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ tale che $[a],[b]\in {\mathbb{Z}}_{12}\mapsto [a]+[b]=[a+b]$. Costruendo la tavola dell’operazione vediamo che $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ è associativo. Infatti

$$[3]+[7]=[3+7]=[10]=[7+3]=[7]+[3]$$

+	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$
$[0]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$
$[1]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$
$[2]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$
$[3]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$
$[4]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$
$[5]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$
$[6]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$
$[7]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$
$[8]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$
$[9]$	$[9]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$
$[10]$	$[10]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$
$[11]$	$[11]$	$[0]$	$[1]$	$[2]$	$[3]$	$[4]$	$[5]$	$[6]$	$[7]$	$[8]$	$[9]$	$[10]$

$({\mathbb{Z}}_{12},+)$ è commutativo perché

$$[a]+([b]+[c])=([a]+[b])+[c]=[a+b]+[c]=[a]+[b+c]=[a+b+c]$$

L’elemento neutro è $[0]$ dato che per se sommiamo un valore a $[0]$ ne otterremo quel valore.

Ogni elemento possiede l’inverso. Infatti secondo la definizione

$$\forall a\in {\mathbb{Z}}_{12}⟹\exists a^{\prime }:a+a^{\prime }=a^{\prime }+a=e$$

E vediamo che

$$\begin{array}{rl}& [1]+[11]=[0]\\ & [2]+[10]=[0]\\ & [3]+[9]=[0]\\ & [4]+[8]=[0]\\ & [5]+[7]=[0]\\ & [6]+[6]=[0]\\ & \dots \end{array}$$

Per verificare che è ciclico dobbiamo trovare quel generatore per generare tutti i numeri dell’insieme. Con questa definizione possiamo vedere che la rispettano: $[1],[5],[7],[11]$.

Anello

Se abbiamo una struttura del tipo $(A,\oplus ,\otimes )$, la chiameremo anello se rispetterà le seguenti condizioni:

1. $(A,\oplus )$ deve essere un gruppo abeliano.
2. L’operazione $\otimes$ deve essere distributiva rispetto all’operazione $\oplus$: $(a\oplus b)\otimes c=a\otimes c\oplus b\otimes c$.
3. $(A,\otimes )$ deve essere un semigruppo.

Inoltre abbiamo due varianti, che possono coesistere nello stesso anello:

• Anello unitario: esistenza dell’elemento neutro per l’operazione $\otimes$.
• Anello commutativo: l’operazione $\otimes$ è commutativa.

Corpo

Definizione

Un anello unitario si definisce corpo quando $\forall a\in A,a\ne 0$ esiste l’elemento inverso per $\otimes$, quindi $\exists a^{-1}:a\otimes a^{-1}=a^{-1}\otimes a=1$.

Campo

Definizione

Un anello unitario si definisce campo quando $\forall a\in A,a\ne 0,\exists a^{-1}$ e $\otimes$ è commutativa.